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Title: Génération aléatoire de classes des partitions d'entier et de certains objets combinatoires
Authors: PHAN, Thi Ha Duong
CAO, Phuong Thao
Keywords: partitions d'entier;partitions strictes;partitions impaires;partitions paires;génération aléatoire;fonction génératrice;bijection;distribution uniforme
Issue Date: 2009
Abstract: Le sujet de ce stage se situe dans le cadre du projet de recherche «Combinatoire énumérative et génération aléatoire» de l'Académies des Sciences et des Technologies du VietNam dont Mme Phan est responsable. En informatique, la génération aléatoire est un thème beaucoup étudié et elle donne lieu à des applications dans des différents domaines tels que des algorithmes cryptographiques, des tests de programmes, des algorithmes probabilistes, des modélisations nucléaires, etc. Dans le cadre de ce sujet, nous nous intéressons à la génération aléatoire des classes des partitions d'entier positif et d'autres objets combinatoires par exemple les arbres, les triangulations et les permutations. L'objectif de ce travail est d'étudier des méthodes existantes qui peuvent faciliter la génération aléatoire et réduire le temps de génération. En plus, le stagiaire proposera de nouveaux algorithmes pour certaines classes. Dans le travail pratique, les algorithmes représentés seront implémentés par des outils comme des bijections, des probabilités et des graphes pour illustrer des méthodes différentes. Ce rapport se compose de cinq chapitres : L'objectif du premier chapitre est de donner une vue globale sur des objets et des thèmes étudiés dans ce rapport. Ce chapitre est consacré à la présentation des définitions d'objets combinatoires étudiés dans ce rapport comme les arbres, les triangulations, les permutations et les partitions d'entier. Ce sont des objets combinatoires souvent utilisés dans la structure de données informatiques ou dans la construction d'algorithmes. Le concept de génération des objets d'un ensemble et le concept de génération aléatoire d'un objet sont aussi abordés dans ce rapport. Puis, on présente la méthode de fonction génératrice pour calculer le nombre d'objets d'un ensemble. Le but du deuxième chapitre est d'étudier et valider des différentes méthodes qui permettent de faciliter la génération aléatoire. Ce chapitre parle du mécanisme de générer aléatoirement basé sur les données cryptographiques des objets combinatoires. Dans plusieurs cas, la génération aléatoire d'objets est difficile si ces objets ont une structure complexe. Si ces objets sont codés et on fait la génération sur les codages, la génération devient beaucoup plus facile. On le voit plus claire via l’algorithme de génération aléatoire d'un arbre par le Codage de Prüfer et via la génération aléatoire d'une permutation par la table d’inversion. La fin du chapitre présente l’algorithme de génération aléatoire d'une triangulation en assurant la distribution uniforme. C'est un nouveau résultat de recherche en 2008 du l'équipe dont Mme Phan est responsable. À côté de l'introduction d'algorithmes existants, il y a aussi nos contributions dans ce chapitre. Ce sont nos analyses concernant la complexité et la distribution uniforme d'algorithmes. Ces analyses aident à comprendre et à comparer l'efficacité de ces algorithmes par rapport aux autres. Nous réalisons aussi des programmes de ces algorithmes dans le quatrième chapitre pour illustrer leurs fonctionnements via des paramètres différents.Le chapitre 3 est le centre de ce rapport qui parle de la partition. La plupart des nos contributions se situent dans ce chapitre. Premièrement, nous rappelons la définition des types de partition, des bijections et des fonctions génératrices pour compter des partitions. Puis, nous introduisons deux algorithmes ZS1 et ZS2 pour générer tous les partitions. Ces deux algorithmes ayant les plus petits temps de fonctionnement sont le résultat de recherche de A. Zoghbi et I. Stojmenovic [18] en 1998. Particulièrement, selon des conseils sur la direction de recherche de Mme Phan, nous avons trouvé aussi 3 nouveaux algorithmes. Ils permettent de générer aléatoirement une partition impaire, une partition paire ou une partition stricte. Tous ces algorithmes assurent la distribution uniforme et sont basés sur la méthode de génération aléatoire d'une partition[5][6]. Des programmes de ces algorithmes sont réalisés au chapitre 4. Dans la partie de l'implémentation de chapitre 4, il y a 9 programmes. Premièrement, c'est un programme pour générer aléatoirement un arbre par le codage de Prüfer. Il y a aussi deux programmes de génération aléatoire d'une triangulation et d'une permutation. En suite, ces sont des programmes concernant la partition : deux programmes qui génèrent tous les partitions d’entier positif selon ZS1 et ZS2, quatre programmes pour générer aléatoirement : une partition, une partition impaire, une partition paire ou partition stricte. À côté de l'introduction des algorithmes, il y a des évaluations de la complexité des programmes et des résultats obtenus. Des avantages et des inconvénients des programmes seront aussi discutés. Enfin, le chapitre 5 est consacré pour la conclusion.
URI: http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/267
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