Bản luận án gồm 4 chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận án. Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên đa tạp) và lược đồ nhóm affine. Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tôi trình bày một số kiến thức cần thiết về đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, và trong Mục 1.5, chúng tôi trình bày một số định nghĩa, kết quả đã biết về tôpô trên tập đối đồng điều. Các kết quả mới được chúng tôi trình bày trong các Chương 2, 3, và 4. Chương 2 (tương ứng, Chương 3, Chương 4) chúng tôi viết dựa theo các bài báo [1](tương ứng, ([2], [4]) và ([5], [6])). Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans. Ở đó, chúng tôi chỉ ra rằng một số tiêu chuẩn cần và đủ để một nhóm con là quan sát được và một nhóm con là toàn cấu đều có thể mở rộng được cho trường k bất kỳ, không nhất thiết là đóng đại số. Nói riêng ra, các điều kiện cần và đủ để một nhóm là quan sát được bao gồm tính chất nhóm con dừng trên k, tính chất mở rộng được trên k, tính chất tựa affine trên k, ..., đều mở rộng được cho trường k tùy ý. Phát biểu chính xác của kết quả này được cho trong Định lý 2.1.11. Tương tự như các nhóm con quan sát được, Bien và Borel (1992) cũng chứng minh một số tiêu chuẩn cần và đủ để một nhóm con là toàn cấu. Định lý chính thứ hai của Chương 2 khẳng định rằng, những tiêu chuẩn cần và đủ như đại số các hàm chính quy của đa tạp thương chỉ gồm những hàm hằng hoặc đại số các hàm chính quy của đa tạp thương là không gian vectơ hữu hạn chiều trên k, ... đều có thể mở rộng cho một trường k tùy ý (xem Định lý 2.2.4). Dựa vào các kết quả trên chúng tôi thu được kết quả về tính chất hữu tỷ cho các nhóm con Grosshans. Định lý này nói rằng tính chất hữu hạn sinh của k[G] H là tương đương với tính chất đối chiều 2 (trên k) của nhóm con đóng H và tính chất k[G] H(k) là hữu hạn sinh trong trường hợp trường k là hoàn thiện gồm vô hạn phần tử (xem Định lý 2.3.5). Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu việc mở rộng các Định lý Bogomolov và Định lý Sukhanov cho trường không đóng đại số. Như đã biết, theo Bogomolov, một nhóm con dừng H := Gv của một vectơ thiếu ổn định v ∈ V đều chứa trong một nhóm con tựa parabolic Q nào đó, nghĩa là tồn tại một G-môđun bất khả quy W và một vectơ trọng cao nhất w ∈ W sao cho H ⊆ Gw. Dùng kết quả này, Sukhanov đã chỉ ra một nhóm con đóng H của G là một nhóm con quan sát được nếu và chỉ nếu H là một nhóm con dưới parabolic của G, nghĩa là tồn tại Q là một nhóm con tựa parabolic của G sao cho H0 ⊆ Q và Ru(H) ⊆ Ru(Q) (trong đó, H0 là thành phần liên thông của H, và Ru(G) là căn lũy đơn của G). Hai kết quả chính của chương này là các Định lý 3.1.5, và Định lý 3.1.7. Nói riêng ra, chúng tôi đã mở rộng được các kết quả của Bogomolov và Sukhanov cho trường hoàn thiện bất kỳ, và chứng minh một kết quả cho mối liên hệ giữa các nhóm con quan sát được, nhóm con tựa parabolic, k-tựa parabolic, k-dưới parabolic, .... (Xem Định lý 3.1.7.) Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về liên hệ giữa tôpô Zariski của quỹ đạo hình học G · v và tôpô Hausdorff của quỹ đạo tương đối G(k)· v. Chúng tôi có hai định lý chính tương ứng với trường k là hoàn thiện (xem Định lý 4.2.6) và trường k không nhất thiết hoàn thiện (xem Định lý 4.3.1.3). Ngoài ra, chúng tôi cũng có các ví dụ, phản ví dụ để bổ sung cho những định lý nói trên. (Xem thêm các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.) Chẳng hạn, chúng tôi khẳng định rằng, nếu k là một trường đầy đủ, hoàn thiện thì điều kiện G(k) · v đóng (theo tôpô Hausdorff) kéo theo G · v đóng (theo tôpô Zariski) trong trường hợp G = L × U là tích trực tiếp của một nhóm reductive L và một nhóm lũy đơn U (một phần của Định lý 4.2.6) và nếu G không là tích trực tiếp L × U thì khẳng định trên nói chung là sai (Mệnh đề 4.2.8). Đối với k là trường đầy đủ bất kỳ, một phần của Định lý 4.3.1.3 khẳng định rằng điều kiện G · v là đóng Zariski kéo theo điều kiện G(k)· v đóng Hausdorff đúng trong trường hợp nhóm dừng Gv là giao hoán và trơn. Đảo lại, nếu G là reductive và tác động là tách mạnh tại v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan) thì điều kiện G(k) · v đóng Hausdorff cũng kéo theo G · v là đóng Zariski. Tuy nhiên, nếu tác động không còn là tách mạnh thì chúng tôi chỉ ra ví dụ nói rằng khẳng định trên là sai (Mệnh đề 4.4.2).
Readership Map
Content Distribution
Bản luận án gồm 4 chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận án. Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên đa tạp) và lược đồ nhóm affine. Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tôi trình bày một số kiến thức cần thiết về đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, và trong Mục 1.5, chúng tôi trình bày một số định nghĩa, kết quả đã biết về tôpô trên tập đối đồng điều. Các kết quả mới được chúng tôi trình bày trong các Chương 2, 3, và 4. Chương 2 (tương ứng, Chương 3, Chương 4) chúng tôi viết dựa theo các bài báo [1](tương ứng, ([2], [4]) và ([5], [6])). Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans. Ở đó, chúng tôi chỉ ra rằng một số tiêu chuẩn cần và đủ để một nhóm con là quan sát được và một nhóm con là toàn cấu đều có thể mở rộng được cho trường k bất kỳ, không nhất thiết là đóng đại số. Nói riêng ra, các điều kiện cần và đủ để một nhóm là quan sát được bao gồm tính chất nhóm con dừng trên k, tính chất mở rộng được trên k, tính chất tựa affine trên k, ..., đều mở rộng được cho trường k tùy ý. Phát biểu chính xác của kết quả này được cho trong Định lý 2.1.11. Tương tự như các nhóm con quan sát được, Bien và Borel (1992) cũng chứng minh một số tiêu chuẩn cần và đủ để một nhóm con là toàn cấu. Định lý chính thứ hai của Chương 2 khẳng định rằng, những tiêu chuẩn cần và đủ như đại số các hàm chính quy của đa tạp thương chỉ gồm những hàm hằng hoặc đại số các hàm chính quy của đa tạp thương là không gian vectơ hữu hạn chiều trên k, ... đều có thể mở rộng cho một trường k tùy ý (xem Định lý 2.2.4). Dựa vào các kết quả trên chúng tôi thu được kết quả về tính chất hữu tỷ cho các nhóm con Grosshans. Định lý này nói rằng tính chất hữu hạn sinh của k[G] H là tương đương với tính chất đối chiều 2 (trên k) của nhóm con đóng H và tính chất k[G] H(k) là hữu hạn sinh trong trường hợp trường k là hoàn thiện gồm vô hạn phần tử (xem Định lý 2.3.5). Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu việc mở rộng các Định lý Bogomolov và Định lý Sukhanov cho trường không đóng đại số. Như đã biết, theo Bogomolov, một nhóm con dừng H := Gv của một vectơ thiếu ổn định v ∈ V đều chứa trong một nhóm con tựa parabolic Q nào đó, nghĩa là tồn tại một G-môđun bất khả quy W và một vectơ trọng cao nhất w ∈ W sao cho H ⊆ Gw. Dùng kết quả này, Sukhanov đã chỉ ra một nhóm con đóng H của G là một nhóm con quan sát được nếu và chỉ nếu H là một nhóm con dưới parabolic của G, nghĩa là tồn tại Q là một nhóm con tựa parabolic của G sao cho H0 ⊆ Q và Ru(H) ⊆ Ru(Q) (trong đó, H0 là thành phần liên thông của H, và Ru(G) là căn lũy đơn của G). Hai kết quả chính của chương này là các Định lý 3.1.5, và Định lý 3.1.7. Nói riêng ra, chúng tôi đã mở rộng được các kết quả của Bogomolov và Sukhanov cho trường hoàn thiện bất kỳ, và chứng minh một kết quả cho mối liên hệ giữa các nhóm con quan sát được, nhóm con tựa parabolic, k-tựa parabolic, k-dưới parabolic, .... (Xem Định lý 3.1.7.) Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về liên hệ giữa tôpô Zariski của quỹ đạo hình học G · v và tôpô Hausdorff của quỹ đạo tương đối G(k)· v. Chúng tôi có hai định lý chính tương ứng với trường k là hoàn thiện (xem Định lý 4.2.6) và trường k không nhất thiết hoàn thiện (xem Định lý 4.3.1.3). Ngoài ra, chúng tôi cũng có các ví dụ, phản ví dụ để bổ sung cho những định lý nói trên. (Xem thêm các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.) Chẳng hạn, chúng tôi khẳng định rằng, nếu k là một trường đầy đủ, hoàn thiện thì điều kiện G(k) · v đóng (theo tôpô Hausdorff) kéo theo G · v đóng (theo tôpô Zariski) trong trường hợp G = L × U là tích trực tiếp của một nhóm reductive L và một nhóm lũy đơn U (một phần của Định lý 4.2.6) và nếu G không là tích trực tiếp L × U thì khẳng định trên nói chung là sai (Mệnh đề 4.2.8). Đối với k là trường đầy đủ bất kỳ, một phần của Định lý 4.3.1.3 khẳng định rằng điều kiện G · v là đóng Zariski kéo theo điều kiện G(k)· v đóng Hausdorff đúng trong trường hợp nhóm dừng Gv là giao hoán và trơn. Đảo lại, nếu G là reductive và tác động là tách mạnh tại v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan) thì điều kiện G(k) · v đóng Hausdorff cũng kéo theo G · v là đóng Zariski. Tuy nhiên, nếu tác động không còn là tách mạnh thì chúng tôi chỉ ra ví dụ nói rằng khẳng định trên là sai (Mệnh đề 4.4.2).
